Ley de Gauss

1.4 Ley de Gauss





En física y en análisis matemático, la ley de Gauss relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga eléctrica encerrada en esta superficie. De esta misma forma, también relaciona la divergencia del campo eléctrico con la densidad de carga ( fig.1.4a ).
Flujo del campo eléctrico





Figura 1.4a
El flujo (símbolo ) es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a una superficie hipotética que puede ser cerrada o abierta. Para un campo eléctrico, el flujo ( ) se mide por el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie.
Para definir a con precisión considérese la figura, que muestra una superficie cerrada arbitraria dentro de un campo eléctrico.
La superficie se encuentra dividida en cuadrados elementales , cada uno de los cuales es lo suficientemente pequeño como para que pueda ser considerado plano. Estos elementos de área pueden ser representados como vectores , cuya magnitud es la propia área, la dirección es normal a la superficie y el sentido hacia afuera.
En cada cuadrado elemental también es posible trazar un vector de campo eléctrico . Ya que los cuadrados son tan pequeños como se quiera, puede considerarse constante en todos los puntos de un cuadrado dado.
y caracterizan a cada cuadrado y forman un ángulo entre sí y la figura muestra una vista amplificada de dos cuadrados.
El flujo, entonces, se define como sigue:

O sea:

Flujo para una superficie cilíndrica colocada en un campo uniforme
Supóngase una superficie cilíndrica colocada dentro de un campo uniforme tal como muestra la figura ( fig.1.4b ):
El flujo puede escribirse como la suma de tres términos, (a) una integral en la tapa izquierda del cilindro, (b) una integral en la superficie cilíndrica y (c) una integral en la tapa derecha:








Fig.1.4b


Para la tapa izquierda, el ángulo , para todos los puntos, es de , tiene un valor constante y los vectores son todos paralelos
Entonces:

siendo el área de la tapa. Análogamente, para la tapa derecha:

Finalmente, para la superficie cilíndrica:

Por consiguiente: da zero ya que las mismas lineas de fuerza que entran, después salen del cilindro.

Flujo para una superficie esférica con una carga puntual en su interior







Fig.1.4c
Considérese una superficie esférica de radio r con una carga puntual q en su centro tal como muestra la figura (Fig.1.4c ). El campo eléctrico es paralelo al vector superficie , y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica.
En consecuencia:

Forma integral de la ley de Gauss]
Su forma integral utilizada en el caso de una distribución extensa de carga puede escribirse de la manera siguiente:

donde Φ es el flujo eléctrico, es el campo eléctrico, es un elemento diferencial del área A sobre la cual se realiza la integral, QA es la carga total encerrada dentro del área A, ρ es la densidad de carga en un punto de V y εo es la permitividad eléctrica del vacío.
Forma diferencial de la ley de Gauss
Tomando la ley de gauss en forma integral.

Aplicando al primer termino el teorema de Gauss de la divergencia queda

Como ambos lados de la igualdad poseen diferenciales volumétricas, y esta expresión debe ser cierta para cualquier volumen, solo puede ser que:

Que es la forma diferencial de la Ley de Gauss (en el vacío).
Esta ley se puede generalizar cuando hay un dieléctrico presente, introduciendo el campo de desplazamiento eléctrico . de esta manera la Ley de Gauss se puede escribir en su forma mas general como

Finalmente es de esta forma en que la ley de gauss es realmente útil para resolver problemas complejos de maneras relativamente sencillas.


Problemas de Ley de Gauss

1.- Considere la superficie gaussiana que rodea parte de la distribución de carga mostrada en la figura (a) ¿Cuál de las cargas contribuye al campo eléctrico en el punto P? (b) El valor obtenido para el flujo a través de la superficie, calculado usando únicamente el campo debido a q1 y a q2, ¿sería mas grande que, igual a, o menor que el obtenido usando el campo total?


2.- Una carga puntual está situada en el centro de una superficie gaussiana esférica. ¿Cambia Фt (a) si la superficie se sustituye por un cubo del mismo volumen, (b) si la esfera se sustituye por un cubo de la décima parte del volumen, (C) si la carga se mueve fuera del centro en la esfera original y permanece adentro, (d) si la carga se mueve justo afuera de la esfera original, (e) si se sitúa una segunda carga cerca y afuera de la esfera original, y (f) si se sitúa una segunda carga adentro de la superficie gaussiana?

3.- Una superficie encierra a un dipolo eléctrico ¿Qué puede usted decir acerca de ФE para esta superficie?

4.- ¿Es E necesariamente cero dentro de un globo de hule cargado, si su forma es (a) esférica o (b) alargada? Para cada forma suponga que la carga está distribuida uniformemente sobre la superficie. ¿Cómo cambiaría la situación, de ser así, si el globo tuviese una capa delgada de pintura conductora en su superficie externa?

5.- Un conductor hueco, aislado y grande contiene una carga positiva. A través de una pequeña abertura en la parte superior del conductor se hace descender una pequeña bola de metal que tiene una carga negativa de la misma magnitud, de manera que toque la superficie interior, y luego se retira. ¿Cuál es, entonces, la carga en (a) el conductor y (b) la bola?

6.- Una carga puntual positiva q está situada en el centro de una esfera de metal hueca. ¿Qué cargas aparecen en (a) la superficie interna y en (b) la superficie externa de la esfera? (c) si acercamos un objeto metálico (descargado) a la esfera, ¿cambiarán sus respuestas de (a) y (b) anteriores? ¿Cambiará el modo en que está distribuida la carga sobre la esfera?

7.- ¿Cómo puede ser retirada completamente la carga en exceso de un cuerpo conductor pequeño?

8.- Conforme usted penetra en una esfera de carga uniforme, E debe disminuir puesto que hay menos carga dentro de una esfera dibujada a lo largo del punto de observación. Por otra parte, E debe aumentar porque usted está mas cerca del centro de esta carga. ¿Cuál efecto es dominante, y por que?